Regula lui Cramer și aplicarea acesteia

regula lui Cramer - este una dintre metodele exacte de rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice liniare (Slough). exactitatea lor din cauza utilizării factorilor determinanți ai matricei sistemului, precum și unele dintre restricțiile impuse în demonstrația teoremei.

Un sistem de ecuații algebrice liniare cu coeficienți care aparțin, de exemplu, o multitudine de R - numere reale de necunoscutele x1, x2, ..., xn este o colecție de expresii

AI2 x1 + x2 + AI2 ... xn = ain bi cu i = 1, 2, ..., m, (1)

în cazul în care AIJ, bi - numere reale. Fiecare dintre aceste expresii se numește o ecuație liniară, aij - coeficienții necunoscutele, bi - coeficienți independenți de ecuații.

soluție de (1) se face referire la vectorul n-dimensional x ° = (x1 °, x2 °, ..., x °), la care substituție în sistem pentru x1 necunoscutele, x2, ..., xn, fiecare dintre liniile din sistemul devine cel mai bine ecuații .

Sistemul se numește consecvent dacă are cel puțin o soluție, și inconsistente, în cazul în care coincide cu setul soluție setului gol.

Trebuie amintit că, în scopul de a găsi soluții pentru sisteme de ecuații liniare folosind metoda Cramer, sistemele matrice trebuie să fie pătrată, ceea ce înseamnă, în esență același număr de necunoscute și ecuații în sistem.

Deci, pentru a folosi metoda lui Cramer, trebuie să știi cel puțin ce este Matricea este un sistem de ecuații algebrice liniare, și este eliberat. Și în al doilea rând, pentru a înțelege ceea ce se numește determinantul matricei și propriile abilități de calcul.

Să presupunem că aceste cunoștințe le posedă. Minunat! Apoi, trebuie să memoreze doar formule care determină metoda Kramer. Pentru a simplifica memorizarea utiliza următoarea notație:

• Det - principalul factor determinant al matricei sistemului;

• deti - este determinantul matricei obținută din matricea primară a sistemului prin înlocuirea coloanei i-lea a matricei într-un vector coloană ale cărui elemente sunt laturile drepte ale ecuațiilor algebrice liniare;

• n - numărul de necunoscute și ecuații în sistem.

Apoi, regula de calcul Cramer i-th xi component (i = 1, .. n) n-dimensional vector x poate fi scris ca

xi = deti / Det, (2).

În acest caz, Det strict diferit de zero.

Unicitatea soluției sistemului atunci când acesta este asigurat în comun de condiția inegalitate a determinantului principal al sistemului la zero. Altfel, dacă suma (xi), patrat, strict pozitiv, atunci SLAE o matrice pătratică este nefezabil. Aceasta se poate întâmpla în special atunci când cel puțin unul dintre nenul deti.

Exemplul 1. Pentru a rezolva sistemul LAU tridimensional folosind formula lui Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Decizie. Scriem matricea liniei sistem de linie, în cazul în care Ai - este rândul i-lea al matricei.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Coloana Coeficienți liberi b = (31 29 octombrie).

Sistemul principal este determinant Det
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Pentru a calcula permutare det1 folosind a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. atunci
det1 = b1 A22 A33 + A12 A23 b3 + A31 b2 A32 - A13 A22 b3 - b1 A32 A23 - A33 A12 = b2 ... = -81.

In mod similar, pentru a calcula det2 utilizare substituție a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3, și, în consecință, să se calculeze det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Apoi, puteți verifica dacă det2 = -108, și det3 = - 135.
Conform formulelor Cramer găsi x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Răspuns: x ° = (3,4,5).

Bazându-se pe aplicabilitatea acestei reguli, metoda de Kramer sisteme de ecuații liniare de rezolvare pot fi utilizate în mod indirect, de exemplu, pentru a investiga sistemul privind numărul posibil de soluții în funcție de valoarea unui parametru k.

Exemplul 2. Pentru a determina la ce valori ale k inegalitatea parametrului | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 are exact o soluție.

Decizie.
Această inegalitate, prin definirea funcției modulului poate fi efectuată numai dacă ambele expresii sunt zero, simultan. Prin urmare, această problemă este redusă la găsirea soluției de ecuații algebrice liniare

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Soluția la acest sistem numai în cazul în care acesta este principalul factor determinant principal al
Det = k ^ {2} + 1 este nenul. Este clar că această condiție este îndeplinită pentru toate valorile reale ale parametrului k.

Raspuns: pentru toate valorile reale ale parametrului k.

Obiectivele acestui tip pot fi , de asemenea , a redus multe probleme practice în domeniul matematicii, fizicii sau chimiei.