Cum de a calcula aria unei piramide: baza, lateral și plin?

În curs de pregătire pentru examen, elevii matematică trebuie să sistematiza cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combine toate informațiile cunoscute, cum ar fi modul de a calcula aria unei piramide. Mai mult decât atât, pornind de la partea de jos și fețele laterale până când suprafața întregului. În cazul în care partea se confruntă cu situația este clară, deoarece acestea sunt triunghiuri, baza este întotdeauna diferit.

Cum să fie atunci când zona de la baza piramidei?

Ea poate fi destul de orice figură dintr-un triunghi arbitrar la gon n-. Și această bază, cu excepția diferenței în numărul de unghiuri, poate fi figura corectă sau incorectă. În interesul sarcinilor elevilor cu privire la examenul de gasit numai locuri de muncă cu cifrele corecte în baza. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.

triunghi echilateral

Asta este echilateral. Una care toate părțile sunt egale și sunt desemnate prin litera „o“. În acest caz, suprafața de bază a piramidei se calculează cu formula:

S = (a ² * √3) / 4.

pătrat

Formula pentru a calcula suprafața sa este cea mai simplă, este „o“ - parte este din nou:

Și S = ^2.

Arbitrare regulate n-gon

La laturile poligonului aceeași denumire. Pentru numărul de unghiuri utilizate latine n litere.

S = (n * a ²⁾ / (4 * tg (180ș / n)) .

Cum de a intra în calculul ariei suprafeței laterale și completă?

Deoarece cifra de bază este corectă, atunci toate fețele piramidei sunt egale. Fiecare dintre care este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria unei laturi a piramidei nevoie de lapte praf format din suma monoamele identice. Numărul de termeni este determinată de cantitatea de laturile de bază.

Aria unui triunghi isoscel este calculat prin formula: în care jumătate din produsul de bază este înmulțită cu înălțimea. Această înălțime în piramida numită apotemă. denumirea sa - "A". Formula generală pentru aria suprafeței laterale este după cum urmează:

S = ½ P * A, unde P - perimetrul bazei piramidei.

Sunt momente când nu se știe de partea de bază, dar marginile laterale sunt (a) plat, iar unghiul la vârful (α). Apoi se bazează utilizează următoarea formulă pentru a calcula suprafața laterală a piramidei:

S = n / 2 până la ² * sin α.

Sarcina № 1

Stare. Găsiți suprafața totală a piramidei, dacă baza sa este un triunghi echilateral cu latura de 4 cm și are valoarea √3 apotemă cm.

Decizie. Acesta ar trebui să înceapă cu calcularea perimetrului de bază. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P = 3 * 4 = 12 cm apotemă După cum se știe, se poate calcula imediat aria suprafeței laterale întreg :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Pentru a obține triunghiul de bază este valoarea zonei (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Pentru a determina întreaga zonă au nevoie să se plieze cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Răspuns. 10√3 ^cm2.

Problema № 2

Stare. Există o piramidă patrulateră regulată. Lungimea bazei este egală cu 7 mm, marginea laterală - 16 mm. Trebuie să știi zona suprafeței sale.

Decizie. Deoarece poliedru - dreptunghiular și corect, la baza sa este un pătrat. Audierea zona de bază și părțile laterale să poată conta piramida pătrat. Formula pentru pătrat este dată mai sus. Și știu toate fețele laterale ale triunghiului. Prin urmare, puteți utiliza formula lui Heron pentru calculul zonelor lor.

Primele calcule sunt simple și conduc la acest număr: 49 mm ^2. Pentru a calcula valoarea a doua nevoie semiperimetrul: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Acum putem calcula aria unui triunghi isoscel: √ (* 19,5 (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54644 mm ^2. Există patru triunghiuri, astfel încât atunci când se calculează numerele finale vor trebui să fie înmulțită cu 4.

S-a obținut: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 ^mm2.

Răspuns. 267.576 valoare dorită de ² mm.

Sarcina № 3

Stare. La piramidă patrulateră regulată este necesară pentru a calcula suprafața. Este cunoscut laterală a pătrat - 6 cm si inaltime - 4 cm.

Decizie. Cel mai simplu mod de a folosi formula pentru produsul perimetrului și apotemă. Prima valoare este găsit pur și simplu. Al doilea un pic mai greu.

Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și ia în considerare un triunghi dreptunghic. Acesta este format din înălțimea piramidei și apotemă, care este ipotenuzei. A doua etapă este jumătate din latura pătratului, ca înălțime poliedru cade în mijlocul ei.

apotemă Favoured (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este egal cu √ ⁽² + 4 luna martie ²⁾ = 5 (cm).

Acum este posibil să se calculeze valoarea dorită: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Răspuns. 96 cm ^2.

Problemă № 4

Stare. Dana piramida hexagonală regulată. Părțile laterale ale bazei sale egală cu 22 mm, marginile laterale - 61 mm. Care este aria suprafeței laterale a acestei poliedru?

Decizie. Raționamentul în ea sunt identice cu cele descrise în №2 sarcina. Numai piramida a fost dat acolo la pătrat la baza, iar acum este un hexagon.

Primul pas este calculat din suprafața de bază cu formula de mai sus ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180ș / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Acum aveți nevoie pentru a găsi o jumătate de perimetrul unui triunghi isoscel, care este o față laterală. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 rămâne pe formula lui Heron pentru a calcula suprafața fiecărui triunghi, și apoi înmulțește cu șase ori mai mare și cel care sa dovedit a bazei.

Calculele privind formula lui Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 ^cm2. Calculele care va asigura o suprafață laterală: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Rămâne să adăugați - le pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm ^2.

Răspuns. Motive - 726√3 cm ^2, suprafața laterală - 3960 cm ^2, întreaga suprafață - 5217 cm ^2.