Ecuația a planului: cum să facă? Tipuri ecuații plane

Spațiul plan poate fi definit în moduri diferite (cu un punct și vector, vectorul și cele două puncte, trei puncte, etc.). Este cu acest lucru în minte, ecuația plan poate avea diferite tipuri. De asemenea, în anumite condiții pot fi plane paralele, perpendiculare, intersectând etc. Pe aceasta și va vorbi în acest articol. Vom învăța să facă ecuația generală a planului și nu numai.

Forma normală a ecuației

Să presupunem că R este spațiul _3, care are o formă dreptunghiulară sistem de coordonate XYZ. Definim un vector α, care vor fi eliberate din punctul de plecare O. Prin sfârșitul vectorului desena planul P subunitatea care este perpendicular pe ea.

Notăm P la un punct arbitrar Q = (x, y, z). Vectorul raza punctului Q literă semn p. Lungimea vectorului este egal cu p α = IαI și Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Acest vector unitate, care este îndreptată în direcția vectorului α. α, β și γ - sunt unghiurile care sunt formate între vectorul și direcțiile pozitive Ʋ axe spațiale x, y, respectiv z. Proiecția unui punct pe vectorul QεP Ʋ este o constantă care este egal cu p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Ecuația de mai sus este semnificativă atunci când p = 0. Singurul n avion, în acest caz, va traversa punctul O (α = 0), care este originea și Ʋ vectorul unitate, eliberat din punctul O va fi perpendiculară P, deși direcția sa, ceea ce înseamnă că Ʋ vectorul determinat până la semn. Ecuația anterioară este planul nostru P, exprimat în formă vectorială. Dar, având în vedere coordonatele sale este:

P este mai mare sau egal cu 0. Am găsit ecuația plan în formă normală.

Ecuația generală

Dacă ecuația în coordonatele se înmulțește cu orice număr care nu este egal cu zero, obținem ecuația echivalentă cu aceasta care definește însăși planul. Acesta va avea următoarea formă:

Aici, A, B, C - este numărul de simultan diferite de zero. Această ecuație se numește ecuația formei generale a planului.

Ecuațiile planurilor. cazuri speciale

Ecuația poate fi, în general, modificat cu condiții suplimentare. Luați în considerare unele dintre ele.

Să presupunem că coeficientul A este 0. Aceasta indică faptul că planul paralel cu axa Ox predeterminată. În acest caz, forma ecuației se schimbă: Wu + Cz + D = 0.

In mod similar, forma ecuației și vor varia în următoarele condiții:

• În primul rând, în cazul în care B = 0, modificările de ecuații la Ax + Cz + D = 0, ceea ce ar indica paralelism cu axa Oy.
• În al doilea rând, în cazul în care C = 0, ecuatia este transformata in Ax + By + D = 0, adică aproximativ paralelă cu axa Oz predeterminată.
• În al treilea rând, în cazul în care D = 0, ecuația va apărea ca Ax + By + Cz = 0, ceea ce ar însemna că planul intersectează O (originea).
• În al patrulea rând, în cazul în care A = B = 0, modificările de ecuații la Cz + D = 0, care se va dovedi paralelismului Oxy.
• În al cincilea rând, în cazul în care B = C = 0, ecuația devine Ax + D = 0, ceea ce înseamnă că planul este paralel cu Oyz.
• În al șaselea rând, în cazul în care A = C = 0, ecuația ia forma Wu + D = 0, adică se va raporta la Oxz paralelism.

Forma ecuației în segmente

În cazul în care numerele A, B, C, D diferite de zero, sub forma ecuației (0) poate fi după cum urmează:

x / a + y / b + z / c = 1,

în care a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Noi primim ca rezultat ecuație a planului în bucăți. Trebuie remarcat faptul că acest plan se va intersecta axa x la punctul cu coordonatele (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) și Oz - (0,0, s).

Având în vedere ecuația x / a + y / b + z / c = 1, nu este dificil de a vizualiza planul de plasare în raport cu un sistem de coordonate predeterminat.

Coordonatele vectorului normale

vector normal n la planul P are coordonatele care sunt coeficienții ecuației generale a planului, adică n (A, B, C).

Pentru a determina coordonatele n normale, este suficient să se cunoască ecuația generală plan dat.

Când se utilizează ecuația în segmente, care are forma x / a + y / b + z / c = 1, atunci când se utilizează ecuația generală poate fi scrisă coordonatele oricărui vector obișnuit un plan dat: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Trebuie remarcat faptul că vectorul normal de a ajuta pentru a rezolva diverse probleme. Cele mai frecvente probleme constau în planuri perpendiculare sau paralele dovada, sarcina de a găsi unghiurile dintre planele sau unghiurile dintre planele și liniile drepte.

Tastați conform ecuației plane și coordonatele vectorului normal de punct

Un vector n nenul, perpendicular pe un plan dat, denumit normal (normal) la un plan prestabilit.

Să presupunem că în spațiul de coordonate (sistem de coordonate rectangular) Oxyz set:

• punctul Mₒ cu coordonatele (hₒ, uₒ, zₒ);
• vector zero, n = A * i + B * j + C * k.

Trebuie să faci ecuația planului care trece prin punctul Mₒ perpendicular pe n normal.

În spațiul vom alege orice punct arbitrar și reprezintă M (x, y, z). Lăsați vectorul raza fiecărui punct M (x, y, z) va fi r = x * i + y * j + z * k, și vectorul raza unui punct Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Punctul M va aparține unui anumit plan, în cazul în care MₒM vectorul să fie perpendicular pe vectorul n. Scriem starea ortogonalitate folosind produsul scalar:

[MₒM, n] = 0.

Deoarece MₒM = r-rₒ, ecuația vectorială a planului va arăta astfel:

[R - rₒ, n] = 0.

Această ecuație poate avea, de asemenea, o altă formă. În acest scop, proprietățile produsului scalar și convertit în partea stângă a ecuației. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Dacă [rₒ, n] notate cu, obținem următoarea ecuație: [r, n] - a = 0 sau [r, n] = s, care exprimă constanța proiecțiile privind vectorul normal al razei de vectorii punctele date care aparțin avionul.

Acum puteți obține coordonatei planul de înregistrare de tip ecuației vector [r - rₒ, n] = 0. Deoarece r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k și n = A * i + B * j + C * k, avem:

Se pare că avem ecuația este formată planul care trece prin punctul perpendicular n normală:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tastați conform ecuației plane și coordonatele a două puncte de coliniar plane vector

Definim două puncte arbitrare M '(x', y 'z') și M "(x", y“, z "), precum și vectorul (a“, a", un ‴).

Acum putem scrie ecuația predeterminate plan care trece prin punctul M existent „și M“, iar fiecare punct cu coordonatele M (x, y, z) este paralel cu un anumit vector.

Astfel, vectorii M'M x = {x 'y-y'; zz '} și M "M = {x" -x', y 'y', z „-Z„} trebuie să fie coplanare cu vectorul a = (a“, a " un ‴), ceea ce înseamnă că (M'M M" M, a) = 0.

Deci, ecuația noastră a unui plan în spațiu va arăta astfel:

Tipul de ecuație plan, trei puncte de trecere

Să presupunem că avem trei puncte: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x ‴ ‴ Have, z ‴), care nu fac parte din aceeași linie. Este necesar să se scrie ecuația planului care trece prin cele trei puncte specificate. Teoria geometrie susține că acest tip de avion nu există, este doar unul și numai. Deoarece acest plan intersectează punctul (x „y“, z „), forma ecuație ar fi:

Aici, A, B și C sunt diferite de zero, în același timp. De asemenea, planul dat intersectează încă două puncte (x "y", z „) și (x ‴, y ‴, z ‴). În acest sens, ar trebui să fie efectuată astfel de condiții:

Acum putem crea un sistem uniform de ecuații (liniare) cu necunoscutele u, v, w:

In cazul x noastre, y sau z standuri punct arbitrar care satisface ecuația (1). Luând în considerare ecuația (1) și un sistem de ecuații (2) și (3), sistemul de ecuații indicate în figura de mai sus, satisface vector N (A, B, C), care este trivial. Aceasta se datorează faptului că determinant al sistemului este zero.

Ecuația (1) pe care le-am luat, acest lucru este ecuația planului. 3 puncte ea într-adevăr merge, și este ușor de verificat. Pentru a face acest lucru, vom extinde determinantul de elementele din primul rând. Dintre proprietățile existente determinante rezultă că planul nostru intersectează simultan trei punctul predeterminat inițial (x 'y', z „), (x " y", z„), (x ‴, y ‴, z ‴). Așa că am decis să sarcina în fața noastră.

Unghiul diedru între planurile

Unghiul diedru este o formă geometrică spațială formată din două jumătăți de avioane care emană de la o linie dreaptă. Cu alte cuvinte, o parte a spațiului, care este limitat la semiplanurile.

Să presupunem că avem două plane cu următoarele ecuații:

Știm că N vectorul = (A, B, C) și N¹ = (¹, H¹, S¹) conform planurilor predeterminate sunt perpendiculare. În acest sens, unghiul φ dintre vectorii N și N¹ unghi egal (diedru), care se află între aceste avioane. Produsul scalar este dat de:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

tocmai pentru că

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Este suficient să se considere că 0≤φ≤π.

De fapt două planuri care se intersectează, forma două unghi (diedru): cp ₁ și φ _2. suma lor este egală cu tt (φ ₁ + φ ₂ = π). În ceea ce privește cosinusului lor, valorile lor absolute sunt egale, dar ele sunt semne diferite, adică, cos j ₁ = -cos φ _2. Dacă în ecuația (0) se înlocuiește cu A, B și C din -A, -B și -C , respectiv, ecuația, obținem, va determina în același plan, singurul unghi φ în cos ecuație φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Acesta va fi înlocuit cu π-φ.

Ecuația planului perpendicular

Chemat perpendicular pe plan, între care unghiul este de 90 de grade. Folosind materialul prezentat mai sus, putem găsi ecuația unui plan perpendicular pe celălalt. Să presupunem că avem două planuri: Ax + By + Cz + D = 0 și + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Putem spune că acestea sunt ortogonale dacă cos = 0. Aceasta înseamnă că NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Ecuația unui plan paralel

Se face referire la două planuri paralele care nu conțin puncte în comun.

Condiția de planuri paralele (ecuațiile lor sunt aceleași ca și în paragraful anterior) este că vectorii N și N¹, care sunt perpendiculare pe acestea, coliniare. Acest lucru înseamnă că sunt îndeplinite următoarele condiții de proporționalitate:

A / ¹ = B / C = H¹ / S¹.

Dacă termenii proporționale sunt extinse - A / ¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

acest lucru indică faptul că planul de date al acestuia. Aceasta înseamnă că ecuația Ax + By + Cz + D = 0 și + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 descrie un singur plan.

Distanța de la punctul de la planul

Să presupunem că avem un plan P, care este dat de (0). Este necesar să se găsească distanța de la punctul cu coordonatele (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Trebuie să aduceți ecuația în planul II aspectul normal să-l facă:

(Ρ, v) = p (r≥0).

În acest caz, ρ (x, y, z) este vectorul raza punctului Q noastre, situat n p - n este lungimea perpendicularei, care a fost eliberat din punctul zero, v - este vectorul unitate, care este poziționat în direcția unei.

Vectorul difference-ρ ρº raza unui punct Q = (x, y, z), aparținând n și vectorul raza unui anumit punct Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) este un astfel de vector, valoarea absolută a proiecției care , v este egală cu distanța d, care este necesar să se găsească la Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ ^ρ-0, v) |, dar

(Ρ ^ρ-0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Deci, se pare,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Acum este clar că pentru a calcula distanța d de la ₀ la Q planul P, este necesar să se utilizeze ecuații normale vedere în plan, trecerea la stânga a p, iar ultimul loc de x, y, z substitutul (hₒ, uₒ, zₒ).

Astfel, constatăm valoarea absolută a expresiei care rezultă că este necesară d.

Folosind parametrii de limbaj, obținem evident:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Dacă punctul specificat Q ₀ este pe de cealaltă parte a planului P ca origine, apoi între vectorul ρ ^ρ-0 și v este un unghi obtuz, deci:

d = - (ρ ^ρ-0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

În cazul în care punctul Q ₀ coroborat cu originea situate pe aceeași parte a U, este creat dintr -un unghi ascuțit, adică:

d = (ρ ^ρ-0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Rezultatul este că , în primul caz (ρ ^0, v)> p, în al doilea (ρ ^0, v)

Și ecuația lui plan tangent

În ceea ce privește planul de la suprafață la punctul de tangență Mº - un plan care conține toate posibile tangenta la curba trasă prin acel punct de pe suprafața.

Cu această formă de suprafață a ecuației F (x, y, z) = 0 în ecuația punctului plan tangent tangent Mº (hº, uº, zº) ar fi:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Dacă suprafața este setată în mod explicit z = f (x, y), atunci planul tangent este descrisă de ecuația:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Intersecția a două avioane

În spațiul tridimensional este un sistem de coordonate (dreptunghiular) Oxyz, având în vedere două planuri P „și P“ , care se suprapun și nu coincid. Deoarece orice plan, care este într-un dreptunghiular sistem de coordonate definit de ecuația generală, presupunem că n „și n„sunt definite de ecuațiile A'x + V'u S'z + + D“= 0 și A" + B x '+ y cu "z + D" = 0. In acest caz avem n normal '(A', B 'C') din planul P 'și n normal "(A", B "C") din planul P'. Ca planul nostru nu sunt paralele și nu coincid, atunci acești vectori nu sunt coliniar. Folosind limbajul matematicii, avem această condiție poate fi scris ca: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * Si", λ * În "λ * C"), λεR. Să linia dreaptă care se află la intersecția P „și P“, va fi notată cu litera a, în acest caz, a = P“∩ P".

și - o linie care constă dintr-o multitudine de puncte (comune) avioane P „și P“. Aceasta înseamnă că coordonatele oricărui punct aparținând liniei a, trebuie să îndeplinească simultan ecuația A'x + V'u S'z + + D '= 0 și A „x + B' + C y" z + D "= 0. Aceasta înseamnă că coordonatele punctului va fi o soluție particulară a următoarelor ecuații:

Rezultatul este că soluția (totală) a acestui sistem de ecuații va determina coordonatele fiecăruia dintre punctele de pe linia care va acționa ca punct de intersecție P „și P“, și de a determina o linie într-un sistem de coordonate Oxyz spațiu (dreptunghiular).