Progresie aritmetică

Sarcinile unei progresii aritmetice a existat în cele mai vechi timpuri. Au apărut și au cerut soluții, pentru că au avut o necesitate practică.

De exemplu, într-unul din papirusurile Egiptului antic, având un conținut matematic, - papirusul Rhind (secolul al XIX-lea BC) - conține o astfel de problemă: împarte cele zece măsuri de cereale pentru zece persoane, cu condiția ca în cazul în care diferența dintre fiecare dintre ele este o optime din măsurile ".

Și în scrierile matematice ale grecilor antici, există teoreme elegante legate de o progresie aritmetică. Deci, Hypsicles Alexandria (II sec î.Hr.), în valoare de o mulțime de sarcini interesante și adăugate paisprezece cărți la „începutul“ Euclid a formulat ideea: „In progresia aritmetică având un număr egal de membri, numărul membrilor din a doua jumătate mai mult decât suma membrilor 1- al doilea la multiplu al pătratului 1/2 din membri. "

Noi luăm un număr arbitrar de numere naturale (mai mare decât zero), 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., care se numește secvența numerică.

Denotă secvența unui. Numerele de secvență sunt numite membrii săi și sunt, de obicei notate literele cu indici, care indică numărul de ordine al elementului (a1, a2, a3 ... citește: «prima», «a doua», «un 3-spălare“ și așa mai departe ).

Secvența poate fi infinit sau finit.

Și ce este progresie aritmetică? Se înțelege ca o secvență de numere obținute prin adăugarea membrului anterior (n) , cu același număr de d, care este progresia diferență.

Dacă d <0, atunci avem o progresie descrescătoare. Dacă d> 0, atunci această progresie este considerată a fi în creștere.

progresie aritmetică se numește finit, dacă luăm în considerare doar câteva dintre primele sale membri. Atunci când un număr foarte mare de membri are o progresie infinită.

Orice progresie aritmetică este dată de următoarea formulă:

o = + b kn, în timp ce b și k - unele numere.

Absolut declarație adevărată, care este invers: dacă secvența este dată de o formulă similară, este exact progresia aritmetică, care are proprietățile:

1. Fiecare membru al evoluției - media aritmetică a termenului precedent și apoi.
2. : În cazul în care, pornind de la al doilea, fiecare membru - media aritmetică a termenului precedent, iar ulterior, și anume, în cazul în care condiția, această secvență - o progresie aritmetică. Această egalitate este atât un semn de progres, prin urmare, denumit în mod obișnuit ca o trăsătură caracteristică a progresiei.
   În mod similar, teorema este adevărat că reflectă această proprietate: secvența - o progresie aritmetică numai în cazul în care această ecuație este valabil pentru oricare dintre membrii secvenței, începând cu a doua.

O proprietate caracteristică a oricăror numere pentru patru progresie aritmetică poate fi exprimată printr-o + am = ak + al, dacă n + m = k + l (m, n, k - numărul de progresie).

Într-o progresie aritmetică a oricărei (N-lea) membru dorit poate fi găsit folosind următoarea formulă:

o = a1 + d (n-1).

De exemplu: primul element (a1) într-o progresie aritmetică este dată și egal cu trei, iar diferența (d) este egal cu patru. Găsiți necesar unui membru patruzeci și cinci de această progresie. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formula o = ak + d (n - k) pentru a determina termenul n-lea al unei progresii aritmetice prin fiecare membru al său k furnizat dacă este cunoscută.

termeni Sum unei progresii aritmetice (presupunând primele n membri progresia finit) se calculează după cum urmează:

Sn = (a1 + o) n / 2.

Dacă știi diferența în progresie aritmetică, iar primul membru, pentru a calcula altă formulă folositoare:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Progresia sumă aritmetică care cuprinde n membri, se calculează după cum urmează:

Sn = (a1 + o) * n / 2.

Formulele de selecție pentru calcule depinde de condițiile și problemele datelor inițiale.

Numerele naturale orice număr, cum ar fi 1,2,3, ..., n, ...- mai simplu exemplu de progresie aritmetică.

În plus, există o progresie aritmetică și geometrică care posedă proprietățile și caracteristicile.