Suma unghiurilor unui triunghi. Teorema privind suma unghiurilor unui triunghi

Triunghiul este un poligon cu trei laturi (trei unghiuri). Cel mai adesea, partea notate cu litere mici cu majuscule, care reprezintă noduri opuse corespunzătoare. În acest articol vom arunca o privire la aceste tipuri de forme geometrice, teorema, care definește ceea ce este egal cu suma unghiurilor unui triunghi.

Tipuri cele mai mari unghiuri

Următoarele tipuri de poligon cu trei vârfuri:

• ascutitunghic, în care toate unghiurile sunt ascuțite;
• dreptunghiular având un unghi drept, partea care o formeaza, se face referire la picioare, iar partea care este dispus opus unghiului drept este numit ipotenuza;
• obtuz când un unghi este obtuz ;
• isoscel, ale căror două laturi sunt egale, iar acestea sunt numite lateral, iar al treilea - un triunghi cu o bază;
• având echilateral trei laturi egale.

proprietăţi

Aloca proprietățile de bază, care sunt caracteristice fiecărui tip de triunghi:

• vizavi de cea mai mare parte este întotdeauna mai mare unghi, și vice-versa;
• sunt unghiuri egale opuse egal cel mai mare partid, și vice-versa;
• în orice triunghi are două unghiuri acute;
• unghi exterior mai mare decât orice unghi intern nu adiacent acestora;
• suma oricăror două unghiuri este întotdeauna mai mic de 180 de grade;
• unghiul exterior este egal cu suma celorlalte două colțuri, care nu sunt mezhuyut cu el.

Teorema privind suma unghiurilor unui triunghi

Teorema afirmă că, dacă adăugați la toate colțurile formei geometrice, care este situată în planul euclidian, atunci suma lor va fi de 180 de grade. Să încercăm să dovedească această teoremă.

Să avem un triunghi arbitrar cu vârfuri KMN. În partea de sus M va organiza o paralelă directă cu linia KN (chiar și această linie este numită Euclid). Trebuie notat punctul A, astfel încât punctele K și sunt dispuse din părți diferite ale liniei MN. Obținem același unghi de AMS și MUF, care, la fel ca în interior, se află în cruce pentru a forma intersectând MN coroborat cu CN directă și MA, care sunt paralele. Din aceasta rezultă că suma unghiurilor triunghiului, situat la nodurile M și N este egal cu mărimea unghiului CMA. Toate cele trei unghiuri constau dintr-o sumă egală cu suma unghiurilor de KMA și MCS. Deoarece datele sunt unghiuri interioare relative linii paralele față CL și CM MA la intersectându, suma lor este de 180 de grade. Acest lucru dovedește teorema.

rezultat

Dintre cele de mai sus teorema de mai sus presupune următorul corolar: fiecare triunghi are două unghiuri acute. Pentru a dovedi acest lucru, să presupunem că această figură geometrică are doar un singur unghi ascuțit. De asemenea, puteți presupune că nici unul dintre colțuri nu sunt ascuțite. În acest caz, trebuie să fie de cel puțin două unghiuri, mărimea căreia este egală sau mai mare de 90 de grade. Dar apoi suma unghiurilor este mai mare de 180 de grade. Dar acest lucru nu poate fi, în funcție de unghiurile suma teorema unui triunghi este egal cu 180 ° - nu mai mult, nici mai puțin. Asta trebuia să fie dovedită.

Proprietate colțuri exterioare

Care este suma unghiurilor unui triunghi, care sunt externe? Răspunsul la această întrebare poate fi obținut prin aplicarea uneia dintre cele două moduri. Primul este că trebuie să găsiți suma unghiurilor, care sunt luate câte una la fiecare nod, adică trei unghiuri. Al doilea implică faptul că trebuie să găsiți suma unghiurilor șase la nodurile. Pentru a face față cu începutul primei variante de realizare. Astfel, triunghiul conține șase colțuri exterioare - în partea superioară a fiecăreia dintre cele două. Fiecare pereche are unghiuri egale între ele, deoarece acestea sunt verticale:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

În plus, este cunoscut faptul că colțul exterior al unui triunghi este egală cu suma celor două interior, care nu sunt mezhuyutsya cu el. Prin urmare,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Din aceasta se pare că suma unghiurilor exterioare, care sunt luate unul câte unul langa fiecare nod va fi egal cu:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Având în vedere faptul că suma unghiurilor este egal cu 180 de grade, se poate argumenta că ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Acest lucru înseamnă că ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Dacă se utilizează a doua opțiune, suma celor șase unghiuri vor fi în mod corespunzător mai mare de două ori. Adică suma unghiurilor unui triunghi exterior va fi:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 ° C.

triunghi dreptunghic

Ce este egal cu suma unghiurilor unui triunghi dreptunghic, este insula? Răspunsul este, din nou, din Teorema, care prevede că unghiurile unui triunghi adăuga până la 180 de grade. Un sunet afirmația noastră (proprietate), după cum urmează: într-un triunghi dreptunghic unghiuri ascuțite adăuga până la 90 de grade. Dovedim veridicitatea. Să fie triunghi dat KMN, care ∟N = 90 °. Este necesar să se demonstreze că ∟K ∟M = + 90 °.

Astfel, în conformitate cu teorema suma unghiurilor ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. În această situație, se spune că ∟N = 90 °. Se pare că ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Aceasta este ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Asta ar trebui să dovedească.

În plus față de proprietățile de mai sus ale unui triunghi dreptunghic, acestea pot fi adăugate:

• unghiuri, care se află pe picioarele sunt ascuțite;
• ipotenuza triunghiular mai mare decât oricare dintre picioare;
• suma picioarelor mai mult decât ipotenuzei;
• piciorul triunghiului, care se află vizavi de unghiul de 30 de grade, jumatate din ipotenuza, care este egală cu jumătate ei.

Ca o altă proprietate a formei geometrice pot fi distinse teorema lui Pitagora. Ea susține că, într-un triunghi cu un unghi de 90 de grade (dreptunghiulare), suma pătratelor picioarelor este egal cu pătratul ipotenuzei.

Suma unghiurilor unui triunghi isoscel

Mai devreme am spus că un triunghi isoscel este un poligon cu trei vârfuri, conținând două părți egale. Această proprietate este cunoscută figură geometrică: unghiurile de la baza ei egale. Să ne dovedesc acest lucru.

Ia triunghiul KMN, care este isoscel, SC - baza acesteia. Ni se cere să dovedească faptul că ∟K = ∟N. Deci, să presupunem că MA - KMN este bisectoarea triunghiului nostru. ICA triunghi cu primul semn de egalitate este triunghi MNA. Și anume, prin ipoteză, dat fiind că CM = NM, MA este o parte comună, ∟1 = ∟2, deoarece MA - acest bisector. Folosind egalitatea dintre cele două triunghiuri, se poate argumenta că ∟K = ∟N. Prin urmare, teorema este demonstrată.

Dar ne interesează, ceea ce este suma unghiurilor unui triunghi (isoscel). Pentru că, în acest sens, nu are caracteristicile sale, vom porni de la teorema discutat anterior. Cu alte cuvinte, putem spune că ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, sau 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (ca ∟K = ∟N). Acest lucru nu se va dovedi proprietatea, ca teorema privind suma unghiurilor unui triunghi sa dovedit mai devreme.

Cu excepția proprietăților considerate ale colțurile unui triunghi, există, de asemenea, astfel de declarații importante:

• într - o înălțime triunghi echilateral, care a fost coborâtă la bază, este simultan bisectoarea median al unghiului care se află între laturile egale și axa de simetrie a bazei sale;
• mediana (bisector, altitudinea), care sunt deținute pe laturile unei figuri geometrice, sunt egale.

triunghi echilateral

Este, de asemenea, numit dreapta, este triunghiul, care sunt egale tuturor părților. Și, prin urmare, de asemenea, egal și unghiuri. Fiecare dintre ele este de 60 de grade. Să ne dovedesc această proprietate.

Să presupunem că avem un triunghi KMN. Știm că KM = HM = KH. Aceasta înseamnă că, în funcție de proprietatea unghiurilor situate la baza într-un triunghi echilateral ∟K = ∟M = ∟N. Deoarece, în conformitate cu suma unghiurilor unui triunghi teoremă ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, apoi x 3 = 180 ° ∟K sau ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Astfel, afirmația este demonstrată. După cum se vede din probele de mai sus bazate pe teorema de mai sus, suma unghiurilor unui triunghi echilateral, ca suma unghiurilor oricărui alt triunghi este de 180 de grade. Din nou, dovedind această teoremă nu este necesară.

Există încă unele proprietăți caracteristice ale unui triunghi echilateral:

• înălțimea mediană bisector într-o figură geometrică identică, iar lungimea lor este calculată ca (a x √3): 2;
• în cazul în care acest poligon circumscris cercului, atunci raza va fi egală cu (a x √3): 3;
• dacă este înscrisă într-un cerc triunghi echilateral, raza sa ar fi (a x √3): 6;
• zona a figurii geometrice se calculează cu formula: (a2 x √3): 4.

triunghi obtuz

Prin definiție, un triunghi în unghi obtuz, unul dintre colțurile sale este între 90 și 180 de grade. Dar, având în vedere faptul că celelalte două unghiuri ale formei geometrice ascuțite, se poate concluziona că acestea nu depășesc 90 de grade. Prin urmare, suma unghiurilor unui triunghi teoremă funcționează la calcularea sumei unghiurilor într-un triunghi obtuz. Deci, putem spune cu siguranță, bazată pe teorema de mai sus că suma unghiurilor unui triunghi obtuz este de 180 de grade. Din nou, această teoremă nu are nevoie de a re-dovada.