Cum de a găsi înălțimea unui triunghi echilateral? Formula localizare, proprietăți de înălțime într-un triunghi echilateral

Geometrie - nu este doar un subiect de școală pe care aveți nevoie pentru a obține un scor perfect. Este, de asemenea, o cunoaștere care este adesea necesară în viață. De exemplu, atunci când construirea unei case cu un acoperiș înalt este necesară pentru a calcula grosimea buștenilor și numărul acestora. Este ușor dacă știi cum să găsească înălțimea unui triunghi echilateral. Structuri arhitecturale se bazează pe cunoașterea proprietăților figurilor geometrice. Formele de clădiri sunt de multe ori ele se aseamănă vizual. Piramidele egiptene, pachetele de lapte, broderie artistică, pictura de nord și chiar prăjituri - toate triunghiurile din jurul omului. Așa cum a spus Platon, întreaga lume se bazează pe triunghiuri.

triunghi isoscel

Pentru a face mai clar, așa cum va fi discutat mai jos, este în valoare de un pic să-și amintească elementele de bază ale geometriei.

Triunghiul este isoscel dacă are două părți egale. Ei numesc întotdeauna parte. Parte a cărei dimensiuni diferite, numite baze.

concepte de bază

Ca orice știință, geometrie are propriile reguli și concepte de bază. O mulțime de ei. Luați în considerare doar cei fără de care tema noastră va fi oarecum neclar.

Înălțimea - aceasta este o linie dreaptă trasă perpendicular pe partea opusă.

Mediana - un segment direcționat din fiecare vârf al triunghiului numai la mijlocul laturii opuse.

Bisectoare - un fascicul care împarte în jumătate unghiul.

Bisectoarea unui triunghi - este o, sau mai degrabă directe segment bisectoarei, care leagă partea superioară a laturii opuse.

Este important să ne amintim că bisectoarea unghiului - este obligatoriu raze și bisectoare triunghi - o parte a fasciculului.

Unghiurile de bază ale

Stările teorema că colțurile sunt situate la baza oricărui triunghi isoscel sunt întotdeauna egale. Pentru a dovedi această teoremă este foarte simplu. Luați în considerare este prezentat un triunghi isoscel ABC, în care AB = BC. Din unghiul bisectoare ABC necesar pentru HP. Acum, ar trebui să fie luate în considerare două triunghiul rezultat. Cu condiția AB = BC, partea HP triunghiurilor în general și unghiurile AED și SVD sunt egale, deoarece VD - bisector. Amintindu primul semn de egalitate, putem concluziona că în condiții de siguranță triunghiuri sunt considerate egale. În consecință, toate unghiurile relevante sunt egale. Și, desigur, părțile, dar de această dată va reveni mai târziu.

Înălțimea triunghiului isoscel

Teorema fundamentală, care are la bază o soluție pentru aproape toate sarcinile, este: înălțime într-un triunghi echilateral este bisectoarea și mediana. Pentru a înțelege sensul său practic (sau esență) ar trebui să țină cont de sprijin. Pentru a face acest lucru, se taie isoscel hârtie triunghi. Cel mai simplu mod de a face acest lucru dintr-o foaie obișnuită de notebook-uri în cutie.

Fold triunghiul rezultat în jumătate, aliniind laturile. Ce sa întâmplat? Două triunghiuri egale. Acum, verificați presupuneri. Expand origami rezultat. Desenați o linie de pliere. Cu echer verifica unghiul dintre linia incizată și o bază triunghi. Ce unghiul de 90 de grade? Faptul că linia trasată - perpendiculară. Prin definiție - înălțime. Cum de a găsi înălțimea unui triunghi echilateral, ne-am înțeles. Acum, pentru colțuri în partea de sus. Folosind aceleași unghiuri de verificare Protractor, acum este format deja ridicat. Ele sunt egale. Aceasta înseamnă că înălțimea este atât bisector. Înarmat cu o riglă, măsurați segmentele în care înălțimea bazei. Ele sunt egale. În consecință, înălțimea într-un triunghi echilateral bisects bază și este o mediană.

dovada

SIDA vizuale demonstrează în mod clar valabilitatea teoremei. Dar geometria - știința suficient de precise, astfel încât de la sine înțeles.

În timpul luarea în considerare a egalității de unghiuri de la baza sa dovedit a fi triunghiuri egale. Reamintim, WA - bisectoarea, și triunghiurile AED și SVD sunt egale. Concluzia a fost că laturile corespunzătoare ale triunghiului și, desigur, unghiurile sunt egale. Deci, AD = SD. În consecință, WA - mediană. Rămâne să dovedească faptul că HP este mare. Bazat pe egalitatea de triunghiuri considerare, se pare că un unghi egal cu unghiul ADD ADV. Dar aceste două unghiuri sunt adiacente și au fost cunoscute pentru a adăuga până la 180 de grade. Prin urmare, ceea ce sunt? Desigur, la 90 de grade. Astfel, HP - este înălțimea într-un triunghi echilateral trase la baza. QED.

caracteristici cheie

• Pentru a face față provocărilor, trebuie să ne amintim principalele caracteristici ale triunghiuri isoscele. Ele par a fi invers teorema.
• Dacă în cursul rezolvării problemei detectate prin egalitatea a două unghiuri, aceasta înseamnă că aveți de-a face cu un triunghi isoscel.
• Dacă nu reușiți să dovedească faptul că mediana este, de asemenea, înălțimea triunghiului, în condiții de siguranță anexați - triunghiul este isoscel.
• Dacă bisectoarea este înălțimea, apoi, în funcție de principalele caracteristici ale triunghiului menționat la un triunghi isoscel.
• Și, desigur, în cazul în care mediana și servește ca o înălțime, o astfel de triunghi - isoscel.

înălțimea de Formula 1

Cu toate acestea, pentru cele mai multe sarcini, aveți nevoie pentru a găsi valoarea înălțimii aritmetică. De aceea, considerăm modul de a găsi înălțimea unui triunghi echilateral.

Revenind la figura de mai sus, ABC, în care - în laturile - bază. HP - înălțimea triunghiului, acesta are simbolul h.

Care este triunghiul AED? Din moment ce HP - înălțime, atunci triunghiul AED - picior dreptunghiular pe care doriți să găsiți. Folosind formula lui Pitagora, obținem:

= + AV² AD² VD²

Definirea VD exprimare și înlocuirea denumirilor adoptate anterior, obținem:

N² = a² - (a / 2) ².

Trebuie să eliminați rădăcina:

H = √a² - v² / 4.

Dacă faci o ¼ din semnul rădăcină, atunci formula ar fi:

H = ½ √4a² - v².

Deci, este înălțimea într-un triunghi echilateral. Formula derivată din teorema lui Pitagora. Chiar dacă ne uităm notația simbolică, atunci, cunoscând metoda de constatare, o puteți aduce mereu.

înălțimea formulei 2

Formula descrisă mai sus este de bază și cel mai frecvent utilizate în majoritatea problemelor geometrice. Dar ea nu a fost singura. Uneori oferit în loc de un unghi de valoare de bază dat. Când datele, cum ar fi găsirea unei înălțime a unui triunghi echilateral? Pentru a rezolva aceste probleme, este recomandabil să se utilizeze o formulă diferită:

H = a / sin α,

unde H - înălțimea, spre baza,

și - o parte laterală,

α - unghiul de la bază.

Dacă problema este dată unghiul la vârful, înălțimea într-un triunghi echilateral este după cum urmează:

H = a / cos (β / 2),

unde H - înălțimea, coborâtă la baza ,,

β - unghiul la vârf,

și - părți.

triunghi isoscel dreapta

proprietate foarte interesant are un triunghi, al cărui apex este egal cu 90 de grade. Luați în considerare un triunghi dreptunghic ABC. Ca și în cazurile anterioare, WA - înălțimea către baza.

Unghiurile de bază sunt egale. Calculați munca lor mare nu va face:

α = (180 - 90), / 2.

Astfel, colțuri situate la baza, mereu la 45 de grade. Acum, ia în considerare ADV triunghi. De asemenea, el este dreptunghiular. Găsim AED unghi. Prin calcule simple, vom ajunge la 45 de grade. Și, de aceea, acest triunghi nu este numai dreptul, ci și un isoscel. Laturile AD și VD sunt laturile și sunt egale.

Dar partea AD, în același timp, este jumătate din UA. Se pare că, în înălțimea unui triunghi echilateral este egal cu jumătate din bază, ca și în cazul în scris sub forma unei formule, obținem următoarea expresie:

H = a / 2.

Nu trebuie uitat faptul că această formulă este doar un caz special, și poate fi folosit numai pentru triunghiuri isoscele dreptunghiulare.

Triunghiul de Aur

Foarte interesant este triunghiul de aur. În această figură, raportul dintre latura bazei este egală cu valoarea, numit numărul de Phidias. Corner situat la partea de sus - 36 de grade, cu baza - 72 de grade. Acest triunghi admirat pitagoricieni. Principiile Golden Triangle formează baza unei multitudini de capodopere nemuritoare. Binecunoscuta cinci colțuri stele construit la intersecția de triunghiuri isoscele. Pentru mai multe lucrări ale lui Leonardo da Vinci a folosit principiul „triunghiul de aur“. Compozitie „Mona Lisa“ se bazează doar pe cifrele, care creează o pentagramă drept.

Pictura „cubism“, unul dintre Pablo Pikasso lucrări, vedere fascinantă formează baza unui triunghi isoscel.