Ce este aritmetică? Teorema fundamentală a aritmetică. aritmetică binară

Ce este aritmetică? Când a început omenirea să folosească numere și să lucreze cu ei? În cazul în care sunt rădăcinile sale de concepte de zi cu zi , cum ar fi numere, fracții, scădere, plus și de multiplicare, persoana în cauză a făcut o parte integrantă a vieții și perspectivele sale? mințile grecești admirate științe, cum ar fi matematica, aritmetica și geometria, ca o simfonie frumoasă a logicii umane.

Poate că matematica nu este la fel de profund ca și celelalte științe, dar ce se va întâmpla cu ei, oamenii uita tabelele de multiplicare elementare? Familiar să ne gândirea logică, folosind numere, fracții, și alte instrumente pentru a oferi oamenilor un timp de greu, și pentru o lungă perioadă de timp nu a fost disponibil pentru strămoșii noștri. De fapt, înainte de dezvoltarea aritmetică nici un domeniu al cunoașterii umane nu a fost cu adevărat științifică.

Aritmetică - Matematica este alfabetul

Aritmetică - știința numerelor, cu care orice individ începe cunoștință cu lumea fascinantă a matematicii. În cuvintele lui M. V. Lomonosov, aritmetica - aceasta este poarta de învățare, deschizând calea pentru noi să Miropoznanie. Dar el are dreptate, este cunoașterea lumii poate fi separată de cunoașterea de litere și cifre, matematică și de vorbire? Poate că în zilele de demult, dar nu și în lumea modernă, în cazul în care dezvoltarea rapidă a științei și tehnologiei face propriile sale legi.

Cuvântul „aritmetică“ (gr. „Arifmos“) de origine greacă, înseamnă „număr“. Se analizează numărul și tot ce poate fi asociat cu acestea. Aceasta este lumea numerelor: diverse operații asupra numerelor, reguli numerice, sarcinile care sunt asociate cu multiplicare, scădere, și așa mai departe ..

Este general acceptat faptul că etapa inițială este aritmetică matematică și bază solidă pentru mai complexe secțiunile sale, cum ar fi algebra, analiza matematică, matematică superioare și t. D.

Obiectul principal de aritmetică

Baza de aritmetica - este un număr întreg, proprietăți și legi care sunt considerate cea mai mare aritmetică sau teoria numerelor. De fapt, modul în care este luată abordarea corectă în considerarea unei astfel de unități mici, dependente de puterea clădirii unui număr natural - matematică.

Prin urmare, întrebarea care este aritmetică, răspunsul este simplu: este știința numerelor. Da, despre obicei șapte, nouă, și toate această comunitate diversă. Și, la fel de bine, și versetele cele mai mediocre nu se poate scrie fără alfabet de bază, fără a aritmetice nu pot fi rezolvate chiar și sarcinile de bază. De aceea, toate științele au avansat numai după dezvoltarea aritmetică și matematică, fiind în primul rând un set de ipoteze.

Aritmetică - știință-fantomă

Ce este aritmetica - științele naturii sau o fantomă? De fapt, așa cum vechii filosofi greci motivate, nici un număr, nu există cifre în realitate nu există. E doar o fantomă, care este creat în gândirea umană atunci când vizionează mediului și a proceselor sale. De fapt, ceea ce este numărul? Nicăieri în jurul valorii de noi nu vedem așa ceva ce ar putea fi numit numărul, mai degrabă, numărul - este o modalitate de a explora lumea minții umane. Poate că acest studiu avem în ei înșiși? Filozofii susțin despre acest lucru pentru multe secole la rând, astfel încât să dea un răspuns exhaustiv nu se angajează. Oricum, aritmetica ar putea lua atât de ferm poziția lor în lumea modernă nimeni nu poate fi considerat adaptat social, fără cunoașterea bazelor sale.

Ca a existat un număr întreg pozitiv

Desigur, obiectul principal al care operează aritmetică, - număr natural, cum ar fi 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... etc. Aritmetica numerelor naturale este rezultatul în detrimentul de obiecte obișnuite, cum ar fi vaci într-o pajiște. Cu toate acestea, definiția „mult“ sau „un pic“ atunci când ceva a încetat să dețină oameni, și a trebuit să inventeze tehnica de numărare mai sofisticate.

Dar descoperire reală a venit atunci când mintea umană a ajuns la punctul în care poate fi unul și același număr de „doi“ pentru a desemna și 2 kg, și 2 cărămidă și 2 părți. Faptul că este necesar să abstracte din formele, caracteristicile și semnificația obiectelor, atunci putem produce o acțiune cu aceste obiecte în formă de numere întregi pozitive. Astfel sa născut aritmetica a numerelor, care este dezvoltat și extins în care ocupă o poziție în societate în continuare.

O astfel în profunzime conceptul de număr, ca zero și numere negative, fracții, numere se referă la numerele în alte moduri, au o istorie bogată și interesantă de dezvoltare.

Aritmetică și practice egipteni

Două companion uman vechi în studiul lumii și rezolvarea problemelor de zi cu zi - această aritmetică și geometrie.

Se crede că istoria aritmetică își are originile în Orientul Antic: India, Egipt, Babilon și China. Deci, Rhind papirus origine egipteană (numit astfel deoarece același nume aparținând proprietarului), care datează din secolul XX. BC, în plus față de alte date valoroase include extinderea unei fracțiuni din cantitatea de fracțiuni cu diferite numitorilor și numărătorul egal cu unu.

De exemplu: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Dar care este sensul unei astfel de descompunere complex? Faptul că abordarea egiptean nu tolerează captată gândesc la numere, dimpotrivă, calculele au fost efectuate numai în scopuri practice. Aceasta este, egiptenii vor fi implicați într-o astfel de afaceri ca calcule, numai în scopul de a construi mormânt, de exemplu. A fost necesar să se calculeze lungimea structurii fin, și a făcut ca o persoană să se așeze papirus. După cum se poate observa, progresul egiptean în calcule a fost numit, mai degrabă masiv, clădire, mai degrabă decât o dragoste de știință.

Din acest motiv, calculele gasite pe papirusuri, nu poate fi numit reflecții pe tema fracțiuni. Cel mai probabil, este o pregătire practică, care a ajutat să rezolve în continuare probleme cu fracții. Vechii egipteni nu au știut tabla înmulțirii, a produs un calcule destul de lungi, răspândit în multe subsarcini. Poate că aceasta este una dintre acele subactivități. Este ușor de observat că calculele cu aceste spații este foarte consumatoare de timp și nu foarte promițătoare. Poate că pentru acest motiv, noi nu vedem o mare contribuție la dezvoltarea matematicii egiptene antice.

Grecia antică și aritmetica filosofică

Multe dintre cunoașterea Orientului antic au fost stăpânit cu succes de grecii antici, cunoscute pentru fanii de reflecție abstractă, abstract și filozofic. Practica le interesa nimic mai puțin decât cei mai buni teoreticieni și gânditori sunt greu de găsit. A fost bună pentru știință, deoarece matematica nu este posibil pentru a merge adânc, nu-l rupe cu realitatea. Desigur, este posibil să se multiplice cele 10 vaci și 100 de litri de lapte, dar să nu fie în măsură să se deplaseze departe.

Grecii gândire profund lăsat un semn semnificativ în istorie, iar lucrările lor au venit la noi:

• Euclid și „elemente“.
• Pitagora.
• Arhimede.
• Eratostene.
• Zenon.
• Anaxagora.

Și, desigur, se transformă toată filozofia grecilor, și mai ales urmașii lui Pitagora cazuri au fost atât de pasionat de numere, pe care le-o armonie mister mondial luate în considerare. Numerele au fost studiate atât și investigate, că unii dintre ei și cuplurile lor atribuite proprietăți speciale. De exemplu:

• Numerele Perfect - cele care sunt suma tuturor divizorilor sale cu excepția numărului în sine (6 = 1 + 2 + 3).
• Numerele Friendly - aceste numere, dintre care unul este suma tuturor divizorii celui de al doilea și vice-versa (pitagoreice știu doar o astfel de pereche: 220 și 284).

Grecii, care credeau că știința ar trebui să fie iubit, să nu fie cu ea de dragul de câștig, au făcut pași mari, explorarea, joc și adăugarea de numere. Trebuie remarcat faptul că nu toate cercetările lor au fost utilizate pe scară largă, unele dintre ele au fost doar „pentru frumusețe.“

ganditori de Est din Evul Mediu

În mod similar, în Evul Mediu aritmetice, își datorează dezvoltarea contemporanilor de est. Indienii ne -a dat cifrele pe care le folosim în mod activ un astfel de lucru ca „zero“, iar variația poziției sistemului de calcul, percepția obișnuită modernă. De la Al-terci, care , în secolul al 15 - lea a lucrat în Samarkand, am moștenit zecimale, fără de care este dificil să ne imaginăm aritmetică modernă.

În multe feluri, Europa familiarizat cu realizările din Est a fost posibilă datorită muncii savantului italian Leonardo Fibonacci, care a scris o carte „Liber Abaci“, cu inovații orientale familiarizare. Ea a devenit piatra de temelie a dezvoltării algebra și aritmetica, de cercetare și activități științifice în Europa.

aritmetică rusă

În cele din urmă, aritmetică, și-a găsit locul și înrădăcinate în Europa, a început să se răspândească pe pământ rusesc. prima aritmetică rusă publicată în 1703 - a fost o carte despre aritmetică Leontiya Magnitskogo. Pentru o lungă perioadă de timp a fost singurul tutorial în matematică. Acesta conține momentele inițiale ale algebră și geometrie. Cifrele, care au fost utilizate în exemplele din primul manual Rusia de aritmetică, arabă. Deși cifre arabe au întâlnit înainte, în gravurile care datează din secolul al 17-lea.

Cartea în sine este decorat cu imagini ale lui Arhimede și Pitagora, și pe prima pagină - aritmetică a imaginii ca o femeie. Ea stă pe tron, dedesubt este scris în cuvântul ebraic pentru numele lui Dumnezeu, și pe treptele care duc la altar, inscriptionate cu cuvântul „diviziune“, „creștere“, „plus“, și așa mai departe. D. Se poate imagina ce valoare trădat aceste adevăruri, care acum sunt considerate un lucru obișnuit.

Manualul de 600 de pagini descrie ca bază de adăugare ca și tabele de multiplicare, precum și cererile de științele de navigație.

Nu este surprinzator, autorul a ales imaginea gânditorilor greci pentru cartea sa, pentru că el însuși a fost captivat de frumusețea aritmetică, spunând: „aritmetică a chislitelnitsa acolo ești frumoasă, nezavistnoe ...“. Această abordare a aritmetică este întemeiată, deoarece este adoptarea sa la scara larga poate fi considerată începutul dezvoltării rapide a gândirii științifice în Rusia și educație generală.

PRIMES neliniştit

număr prim - este un număr natural, care este de numai 2 divizori pozitive: 1 și în sine. Toate celelalte numere, cu excepția 1 este numit compozit. Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, și toți ceilalți care nu sunt altele decât 1 divizori și numărul însuși.

În ceea ce privește numărul 1, acesta este la o primă - există un acord că ar trebui să fie luate în considerare nici simplu, nici compus. Simplu la prima vedere, un simplu număr ascunde multe mistere nerezolvate în ei înșiși.

Teorema lui Euclid spune că un număr infinit de numere prime, și Eratostene a venit cu o aritmetică „sită“ speciale, care elimină numere complicate, lăsând doar simplu.

Esența ei este de a sublinia primul număr Undelete, iar în izbitoare ulterioare pe cele care sunt multipli de ea. Repetăm această procedură de mai multe ori - și a obține un tabel de numere prime.

Teorema fundamentală a aritmeticii

Printre observațiile cu privire la numerele prime trebuie să menționăm în special teorema aritmetice de bază.

Teorema aritmetice de bază prevede că orice număr întreg mai mare decât 1, sau un simplu sau poate fi descompus într-un produs de numere prime până la ordinea factorilor de repetiție, singura cale.

Teorema fundamentală a aritmeticii sa dovedit destul de greoaie, iar înțelegerea nu este ca doar elementele de bază.

La prima vedere, numerele prime - conceptul elementar, dar nu este. Fizica, de asemenea, o dată considerată un atom elementar, până când ea a găsit în interiorul unui univers. Primes dedicat o frumoasă poveste matematician Don Zagier „Primele cincizeci de milioane de numere prime.“

Din cele „trei mere“ la legile deductive

Aceasta cu adevărat poate fi numit o fundație consolidată a științei - legile aritmetică. Chiar și un copil toată fața aritmetică, studiind numărul de picioare și brațe la păpuși, numărul de cuburi, mere și așa mai departe. D. Deci studiem aritmetică, care apoi progresează în norme mai complexe.

Toată viața noastră ne prezintă regulile de aritmetică, care au fost pentru omul comun cel mai util dintre toate că știința oferă. Studiul numerelor - este „aritmetică-copil“, care introduce omul în lumea numerelor ca cifre din copilarie.

Aritmetică superior - știință deductivă care studiază legile aritmeticii. Cei mai mulți dintre ei știm, deși poate că nu știm exact modul lor de redactare.

Legea de adăugare și de multiplicare

Oricare două numere întregi a și b poate fi exprimată ca suma a + b, care este, de asemenea, un număr natural. În ceea ce privește adăugarea, următoarele legi:

• Comutativ, care spune că permutarea termenilor plasează suma nu se schimba, sau a + b = b + a.
• Asociativă care a spus sumă nu depinde de metoda de grupare a termenilor în locuri sau a + (b + c) = (a + b) + c.

Regulile de aritmetică, cum ar fi, plus - una dintre cele de bază, dar ele sunt utilizate toate științele, să nu mai vorbim de viața de zi cu zi.

Orice două numere întregi a și b pot fi exprimate în produs sau b * a * b, care este, de asemenea, un număr natural. Pentru a aplica produsul aceleași legi comutative și asociative în ceea ce privește adăugarea de:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Este interesant faptul că există o lege, care combină plus și de multiplicare, de asemenea, cunoscut sub numele de distribuție sau distributivitate:

a (b + c) = ab + ac

Această lege ne învață să lucrăm cu paranteze, deschizându-le, astfel putem lucra deja cu formule mai complexe. Acestea sunt legile care ne vor conduce prin lumea ciudat, dar complex de algebră.

Legea ordine aritmetică

despre legile logicii umane se folosește în fiecare zi, se uită la ceas și de numărare facturile. Și, cu toate acestea, și ar trebui să fie făcută într-o anumită limbă.

Dacă avem două numere naturale a și b, apoi următoarele opțiuni:

• o este egal cu b, sau a = b;
• o mai mică decât b, sau a
• a este mai mare decât b, sau a> b.

Dintre cele trei opțiuni doar nu poate fi decât unul. Legea fundamentală, care reglementează procedura, a spus: dacă a

Există , de asemenea , legi care leagă acțiunile ordinea de adăugare și multiplicare: dacă a

Legile aritmetica ne-a învățat să lucreze cu numere, semne și paranteze, transforma totul într-o simfonie armonioasă de numere.

Sistemul pozițional și nonpositional de numerotare

Putem spune că numerele - aceasta este limba de matematică, de la confortul de care depinde de multe lucruri. Există mai multe sisteme de calcul, care, la fel ca alfabetele limbi diferite diferă.

Luați în considerare sistemul numeric din punctul de poziții de impact asupra valorii cantitative a cifrei în această poziție. De exemplu, sistemul roman este nonpositional unde fiecare număr este codificat de un anumit set de caractere speciale: I / V / X / L / C / D / M. Acestea sunt, respectiv, numerele 1/5/10/50/100/500 / 1000. În acest sistem, cifra nu se schimba determinarea sa cantitativă, în funcție de poziția în ceea ce ar trebui: .. Primul, al doilea, etc. Pentru a obține celelalte numere, este necesar să se stabilească baza. De exemplu:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Mai familiar pentru a ne sistem numeric cu cifre arabe este pozitional. Într-un astfel de sistem numărul de descărcare definește numărul de cifre, de exemplu, numere cu trei cifre: 333, 567, etc. Greutatea oricare descărcării depinde de poziția pe care cifra este una sau alta, de exemplu, figura 8 în a doua poziție are o valoare de 80. Este tipic pentru sistemul zecimal, există un alt sistem de poziționare, cum ar fi binar.

aritmetică binară

Suntem sistem zecimal familiare, constând dintr-un număr cu un singur bit și multi-bit. Figura din stânga numărului cifră este de zece ori mai mare în importanță cu cea de pe dreapta. Deci, am folosit pentru a citi 2, 17, 467, și așa mai departe. D. Este o logică și o abordare diferită secțiune, care se numește „aritmetică binară.“ Acest lucru nu este surprinzător, pentru că aritmetica binară nu este creat pentru logica umană, cât și pentru calculator. Dacă aritmetica numerelor proveneau din numărare, care captată în continuare de proprietate supus „gol“ aritmetică, atunci acest lucru nu va funcționa cu computerul. Pentru a putea împărtăși cunoștințele lor cu computerul, un om a trebuit să inventeze un model de calcul.

aritmetică binară funcționează cu alfabet binar, care constă numai din 0 și 1. Și utilizarea acestui alfabet este numit un sistem binar.

Spre deosebire zecimal aritmetica binară că importanța poziției stânga nu mai sunt 10, și de 2 ori. Numerele binare sunt de forma 111, 1001 și așa mai departe. D. Cum ar trebui să înțelegem aceste numere? Astfel, considerăm numărul 1100

1. Prima cifră din partea stângă - 1 * 8 = 8, având în vedere faptul că a patra cifră, ceea ce înseamnă că trebuie să fie multiplicate cu 2, obținem poziția 8.
2. A doua cifră 1 * 4 = 4 (poziția 4).
3. A treia cifră 0 * 2 = 0 (poziția 2).
4. A patra cifră 0 * 1 = 0 (poziția 1).
5. Deci, numărul nostru 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Adică, tranziția la o nouă categorie la stânga semnificației sale în sistemul binar este înmulțit cu 2 și zecimal - la 10. Un astfel de sistem are un dezavantaj: este biți prea mare de creștere, care sunt necesare pentru a înregistra numere. Exemple numere zecimale dvochinyh după cum se poate vedea în tabelul de mai jos.

numere zecimale sunt reprezentate în formă binară de mai jos.

De asemenea, este utilizat octal, și sistemul de numerotare hexazecimal.

Această aritmetică misterioasă

Ce este aritmetica, „doi plus doi“ sau mistere neexplorate de numere? După cum puteți vedea, aritmetica, poate, și se pare la prima vedere un simplu, dar nu este evident ușurință înșelătoare. Este posibil să se studieze copiii, și împreună cu mătușa Owl din desenul animat „aritmetică-copil“, și puteți arunca cu capul în adânc cercetarea științifică, pentru aproape filosofice. În istorie a trecut de la numărarea obiectelor să se închine frumusețea numerelor. Un lucru este sigur: cu stabilirea postulatelor de bază ale aritmetică, toate știința se poate baza pe umărul ei puternic.