Transformata Fourier. transformata Fourier rapidă. transformata Fourier discretă

Transformarea Fourier - transformare, care asociază o anumită funcție a unei variabile reale. Această operație se realizează de fiecare dată când ne percepem sunete diferite. Ureche produce „calcul“ automat, care îndeplinesc conștiința noastră poate doar după examinarea secțiunii de matematici superioare. organ auz într-o transformare umană construiește, în care sunetul (mișcarea vibratorie convențională a particulelor într-un mediu elastic, care se propagă în formă de undă în mediu solid, lichid sau gazos) este prevăzut într-un interval de valori consecutive ale nivelului volumului de tonuri de diferite înălțimi. Dupa aceasta, creierul transformă informația în tot sunetul familiar.

Matematică transformata Fourier

Transformarea undelor sonore sau procese alte vibrații (prin emisie de lumină și de maree oceanelor și la ciclurile stelare sau solare) poate fi realizată și prin intermediul unor metode matematice. Astfel, folosind aceste tehnici, funcțiile pot fi extinse prin introducerea proceselor vibraționale set de componente sinusoidale, adică curbele ondulate, care merg de la un minim la un maxim și apoi din nou la un nivel minim, ca valul mării. Transformarea Fourier - funcția de transformare care descrie faza sau amplitudinea fiecărei sinusoidă corespunzând unei anumite frecvențe. Faza este un punct de plecare al curbei, și amplitudinea - înălțimii sale.

transformata Fourier (exemple sunt prezentate în fotografie) este un instrument foarte puternic, care este utilizat în diferite domenii ale științei. În unele cazuri, este folosit ca o soluție ecuații destul de complexe, care descriu procesele dinamice care au loc sub influența luminii, energie termică sau electrică. În alte cazuri, aceasta vă permite să definiți componentele regulate în forme de undă complexe, din cauza acest lucru poate fi adevărat pentru a interpreta diverse observații experimentale în chimie, medicină și astronomie.

informații istorice

Prima persoană care să aplice această metodă a fost matematicianul francez Zhan Batist Fure. Conversie, ulterior numit după el, a fost inițial folosit pentru a descrie mecanismul de conducție a căldurii. Fourier întreaga sa viață de adult implicat în studierea proprietăților căldurii. El a avut o contribuție enormă la teoria matematică a determinării rădăcinilor ecuații algebrice. Fourier a fost profesor de analiză la Ecole Polytechnique, secretarul Institutului de Egiptologie, a fost serviciul imperial, care a provocat agitație în momentul de construcție a drumului spre Torino (sub conducerea sa a fost golit de mai mult de 80 de mii de kilometri pătrați de mlaștini malarie). Cu toate acestea, toate acest activism nu a oprit omul de știință implicat în analiza matematică. In 1802 a fost derivat o ecuație care descrie propagarea căldurii în solide. In 1807, om de știință au descoperit o metodă de rezolvare a acestei ecuații, care a devenit cunoscută ca „transformare Fourier“.

Analiza de conductivitate termică

Cercetatorii au folosit o metoda matematica pentru a descrie mecanismul de conducție a căldurii. Un exemplu convenabil, în care nici o dificultate în calcul este propagarea energiei termice printr-un inel de fier, o parte cufundat într-un incendiu. Pentru a efectua experimente Fourier parte roșu fierbinte a inelului și l-au îngropat în nisip fin. După aceea, măsurătorile de temperatură efectuate pe partea opusă a acestuia. Inițial, distribuția căldurii este neregulată: o parte a inelului - rece, iar celălalt - la cald, între zonele poate observa un gradient de temperatură ascuțite. Cu toate acestea, în timpul distribuției căldurii pe întreaga suprafață metalică, ea devine mai uniformă. Deci, în curând, acest proces ia forma de undă sinusoidală. În primul grafic crește treptat și, de asemenea, scade lin, cu precizie legile de variație a cosinus sau a funcției sinus. Wave egalizat treptat și ca rezultat temperatura devine uniform pe întreaga suprafață a inelului.

Autorul acestei metode presupune că distribuția inițială este destul de neregulat poate fi descompus într-un număr de unde sinusoidale elementare. Fiecare dintre ele va avea faza sa (poziția inițială) și temperatura maximă. Astfel, fiecare astfel de modificări de componente de la minimum la maximum și înapoi pentru a finaliza revoluție în jurul timpii inel întregi. Componenta având o perioadă care a fost numită armonica fundamentală, iar valoarea cu două sau mai multe perioade - a doua și așa mai departe. De exemplu, o funcție matematică ce descrie temperatura maximă, faza sau poziția numită transformata Fourier a funcției de distribuție. Om de știință a adus o singură componentă, care este dificil de descriere matematică, pentru instrumente ușor de utilizat - rânduri de sinus și cosinus, în valoare de a da distribuția inițială.

Esența analizei

Aplicând această analiză la conversia distribuției căldurii asupra obiectului solid, având o formă inelară, un matematician motivat că perioadele în creștere ale componentelor sinusoidale conduc la o amortizare rapida. Acest lucru se vede clar pe principalele și a doua armonici. Temperatura finală atinge dublul valorilor maxime și minime într-o singură trecere, și în primul - doar o singură dată. Se pare că distanța parcursă de căldură în a doua armonica este jumătate din cea a miezului. În plus, gradientul a doua jumătate va fi, de asemenea, mai abruptă decât prima. Prin urmare, din moment ce un flux termic mai intens trece vaduva distanta minima, atunci acest lucru va fi amortizată armonic de patru ori mai repede decât principal, în funcție de timp. În urma procesului va fi chiar mai repede. Matematicianul crede că această metodă ne permite să calculăm procesul distribuției inițiale a temperaturii cu timpul.

contemporani apel

Transformata Fourier algoritm a devenit o provocare pentru fundamentele teoretice ale matematicii la momentul respectiv. În secolul al XIX-lea, cei mai mulți oameni de știință, inclusiv Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre și Biot nu a acceptat afirmația lui că temperatura distribuția inițială este descompus în componente sub forma undei fundamentale și frecvența mai mare. Cu toate acestea, Academia de Științe nu au putut ignora rezultatele obținute matematician, și ia acordat Premiul pentru teoria conducție termică a legilor, precum și efectuarea de comparația cu experimentele fizice. În abordarea Fourier, principala obiecție este faptul că o funcție discontinuă este reprezentată de o sumă de mai multe funcții sinusoidale, care sunt continue. La urma urmelor, ele descriu liniile drepte și curbe de rupere. om de știință contemporan nu a întâlnit o astfel de situație, atunci când funcțiile discontinue descrise printr-o combinație de continuă, cum ar fi pătratică, liniare, sine sau expozant. În cazul în care un matematician a avut dreptate în afirmațiile sale, suma unei serii infinite de funcții trigonometrice ar trebui să fie limitată la viteza exactă. În timp ce o astfel de afirmație părea absurdă. Cu toate acestea, în ciuda îndoielilor unor cercetători (de exemplu, Claude Navier, Sofi Zhermen) a extins domeniul de aplicare al cercetării și le-au scos din analiza distribuției căldurii. O matematică, între timp, a continuat să sufere întrebarea dacă o sumă de mai multe funcții sinusoidale este redusă la o reprezentare exactă a plesnire.

200 de ani de istorie

Această teorie a evoluat pe parcursul a două secole, astăzi este în cele din urmă format. Cu ajutorul funcțiilor spațiale sau temporale sunt împărțite în componente sinusoidale, care au o frecvență, fază și amplitudine. Această conversie se obține prin două metode matematice diferite. Prima dintre ele este utilizat în cazul când sursa este o funcție continuă, iar al doilea - în cazul în care acesta este reprezentat de o multitudine de modificări individuale discrete. Dacă expresia este obținută din valori, care sunt definite la intervale discrete, acesta poate fi împărțit în mai multe discrete frecvențe de sinusoide expresii - de la cea mai mică și apoi sa dublat, triplat, și așa mai departe deasupra fundamentală. Această sumă se numește seria Fourier. În cazul în care expresia inițială stabilește valoarea fiecărui număr real, acesta poate fi împărțit în mai multe sinusoidale toate frecvențele posibile. Acesta se numește Fourier integrală, iar decizia implică o transformare a funcției integrale. Indiferent de metoda de obținere de transformare, pentru fiecare frecvență ar trebui să indice două numere: amplitudine și frecvență. Aceste valori sunt exprimate ca un singur număr complex. Expresia variabile complexe teoria împreună cu transformarea Fourier pentru a efectua calcule a permis proiectarea diferitelor circuite electrice, analiza vibrațiilor mecanice, studiul mecanismului de propagare a undei și altul.

Transformata Fourier astăzi

În prezent, studiul acestui proces, practic, se reduce la găsirea unor metode eficiente pentru trecerea de la funcția pentru ao converti înapoi în minte. Această soluție se numește transformata Fourier directă și inversă. Ce înseamnă? Pentru a determina integralei și să transforme o Fourier directă, puteți utiliza metode matematice, dar se poate analitic. În ciuda faptului că, atunci când acestea sunt utilizate în practică, există unele dificultăți, cele mai multe integralele au fost deja găsite și introduse în manualele de matematică. Cu expresii ajutorul metodelor numerice pot fi calculate, a cărui formă se bazează pe datele experimentale, o funcție a cărei integralele în tabele sunt lipsesc, iar acestea sunt dificil de imaginat într-o formă analitică.

Înainte de apariția de calcule de inginerie calculator astfel de transformări au fost foarte obositor, au nevoie de execuție manuală a unui număr mare de operații aritmetice, care depind de numărul de puncte care descriu funcția de undă. Pentru a facilita așezarea în prezent, există programe speciale, a permis să pună în aplicare noi metode analitice. Deci, în 1965, Dzheyms Kuli și Dzhon Tyuki a creat software-ul care a devenit cunoscut sub numele de „Transformarea Fourier rapidă“. Se economisește timpul de calcul prin reducerea numărului de multiplicări în analiza curbei. „Fast Fourier Transform“ Metoda se bazează pe împărțirea curbei într-un număr mare de valori uniforme de probă. Prin urmare, numărul de multiplicări este redus la jumătate, la același reducerea numărului de puncte.

Aplicarea transformata Fourier

Acest proces este folosit în diverse domenii: În teoria numerelor, fizica, de procesare a semnalului, combinatorica, teoria probabilităților, criptografie, statistici, oceanografie, optică, acustică, și alte geometrii. Posibilitățile bogate de utilizare a acestuia se bazează pe un număr de caracteristici utile, care sunt numite „proprietăți ale transformării Fourier.“ Să le examinăm.

1. Funcția de conversie este un operator liniar și o normalizare corespunzătoare este unitar. Această proprietate este cunoscut sub numele de teorema lui Parseval, sau, în cazul general, teorema Plansherelja sau Pontrjagin dualismului.

2. Conversia este reversibilă. Mai mult, rezultatul opus este o formă substanțial similară ca și în abordarea directă.

3. Expresiile de bază sinusoidale sunt propriile lor funcții diferențiate. Aceasta înseamnă că o astfel de reprezentare se schimbă ecuații liniare cu coeficienți constanți într - o algebric convențională.

4. Potrivit „convoluție“ teoremă, procesul face o operație complexă în multiplicarea elementară.

5. transformata Fourier discretă pot fi proiectate rapid pe un calculator folosind metoda „rapid“.

Variante ale transformatei Fourier

1. Cel mai adesea termenul este folosit pentru a se referi la o transformare continuă, furnizând orice expresie quadratically integrabil ca suma expresiei exponențiale complexe cu frecvențe unghiulare specifice și amplitudini. Această specie are mai multe forme diferite, care pot fi diferiți coeficienți constanți. Metoda continuă include un tabel de conversie, care pot fi găsite în manualele matematice. Un caz generalizat este conversia fracționată, prin care acest proces poate fi ridicată la puterea reală dorită.

2. Metoda continuă este o generalizare a tehnicii anterioare seriilor Fourier definite pentru orice funcții periodice sau expresii, care există într - o zonă limitată și îi reprezintă pe aceștia ca o serie de sinusoide.

3. transformata Fourier discretă. Această metodă este utilizată în calcul pentru calcule științifice și de prelucrare a semnalului digital. Pentru a realiza acest tip de calcul este necesar să aibă o funcție de determinare pe un set discret de puncte individuale, regiunea periodică sau limitată în loc de integralelor Fourier continue. de conversie a semnalului în acest caz este reprezentat ca o sumă de sinusoide. Utilizarea metodei „rapid“ permite utilizarea soluțiilor digitale pentru toate scopurile practice.

4. Fereastra transformata Fourier este o vedere generalizată a metodei clasice. Spre deosebire de soluțiile standard, atunci când se utilizează spectrul de semnal, care este luat în întreaga gamă de existență a acestei variabile este de interes particular aici este doar distribuția frecvenței locale menținând în același timp variabila original (timp).

5. transformata Fourier bidimensională. Această metodă este utilizată pentru a lucra cu două-dimensionale matrici de date. Într-un astfel de caz, conversia se efectuează într-o singură direcție, iar apoi - în cealaltă.

concluzie

Astăzi, metoda Fourier este ferm înrădăcinată în diferite domenii ale științei. De exemplu, în 1962, a deschis forma de dublu helix ADN folosind analiza Fourier în conjuncție cu difracție cu raze X. Cristale recente axat pe fibre de ADN, rezultând într-o imagine care este obținută prin difracție, înregistrată pe film. Această imagine a dat informații despre valoarea amplitudinii folosind transformata Fourier pentru această structură cristalină. Date de fază obținute prin compararea carduri de difracție ADN cu carduri care sunt obținute în analiza structurilor chimice similare. Ca rezultat, biologi restaurat structura de cristal - funcția originală.

Transformata Fourier joaca un rol foarte important în studiul spațiului cosmic, fizica materialelor semiconductoare și a plasmei, acustica cu microunde, oceanografia, radar, Seismologie și examene medicale.